RSE（Relative Squared Error，标准化平方误差）

def RSE(pred, true):
    return np.sqrt(np.sum((true - pred) ** 2)) / np.sqrt(np.sum((true - true.mean()) ** 2))

含义： 衡量预测误差与真实数据自身方差之间的比值。相当于对RMSE进行了标准化，使其具有无量纲的特性。

公式：

$$\text{RSE} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$

其中：

• $y_i$ 是真实值，$\hat{y}_i$ 是预测值
• $\bar{y}$ 是真实值的均值

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MAE（Mean Absolute Error，平均绝对误差）

def MAE(pred, true):
    return np.mean(np.abs(pred - true))

含义： 衡量平均每个预测值与真实值的绝对差异。

公式：

$$\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i|$$

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MSE（Mean Squared Error，均方误差）

def MSE(pred, true):
    return np.mean((pred - true) ** 2)

含义： 衡量平均预测误差的平方，放大了较大误差的影响。

公式：

$$\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$$

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RMSE（Root Mean Squared Error，均方根误差）

def RMSE(pred, true):
    return np.sqrt(MSE(pred, true))

含义： MSE的平方根，单位和原始数据一致，解释性更强。

公式：

$$\text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}$$

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MAPE（Mean Absolute Percentage Error，平均绝对百分比误差）

def MAPE(pred, true):
    return np.mean(np.abs((pred - true) / true))

含义： 衡量预测误差相对于真实值的百分比。对真实值为0的数据不适用。

公式：

$$\text{MAPE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i} \right|$$

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MSPE（Mean Squared Percentage Error，平均平方百分比误差）

def MSPE(pred, true):
    return np.mean(np.square((pred - true) / true))

含义： MAPE的平方版本，同样对较大相对误差更敏感。

公式：

$$\text{MSPE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i} \right)^2$$

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CORR（Correlation，皮尔逊相关系数）

def CORR(pred, true):
    u = ((true - true.mean(0)) * (pred - pred.mean(0))).sum(0)
    d = np.sqrt(((true - true.mean(0)) ** 2 * (pred - pred.mean(0)) ** 2).sum(0))
    d += 1e-12
    return 0.01*(u / d).mean(-1)

含义： 衡量预测值和真实值之间的线性相关性。值越接近1表示相关性越强。

公式（简化）：

$$\text{CORR} = \frac{1}{100} \cdot \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\sum_i (y_{i,j} - \bar{y}_j)(\hat{y}_{i,j} - \bar{\hat{y}}_j)}{\sqrt{\sum_i (y_{i,j} - \bar{y}_j)^2 \cdot \sum_i (\hat{y}_{i,j} - \bar{\hat{y}}_j)^2}}$$

其中 $j$ 表示变量的维度（例如多变量时间序列中的每一个维度），加入 0.01 是人为缩放调整。

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metric 函数（汇总多个指标）

def metric(pred, true):
    mae = MAE(pred, true)
    mse = MSE(pred, true)
    rmse = RMSE(pred, true)
    mape = MAPE(pred, true)
    mspe = MSPE(pred, true)
    rse = RSE(pred, true)
    corr = CORR(pred, true)

    return mae, mse, rmse, mape, mspe, rse, corr

该函数将上述所有指标组合起来，输出一个指标元组，常用于模型评估时统一计算多个性能指标。